Niech \( \hskip 0.3pc f:[a,b]\times \mathbb R^2\to\mathbb R\hskip 0.3pc \) będzie funkcją klasy \( \hskip 0.3pc C^1.\hskip 0.3pc \) Rozważmy funkcjonał
\( {\cal F}(u) = \displaystyle\int_a^bf\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)dx \)
w zbiorze \( \hskip 0.3pc {\cal M}\hskip 0.3pc \) funkcji dopuszczalnych \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) określonych wzorem:
\( {\cal M}=\big\{u\in C^1([a,b])\,:\,u(a)=\alpha ,\, u(b)=\beta \big\}, \)
gdzie \( \hskip 0.3pc \alpha ,\beta \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) (W dalszym ciągu w zapisie całkowym postaci (1) argument funkcji \( \hskip 0.3pc u\hskip 0.3pc \) na ogół będziemy pomijać).
Przypuśćmy, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F} \hskip 0.3pc \) posiada w punkcie \( \hskip 0.3pc u_0\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) minimum lokalne.
Dla \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M}\hskip 0.3pc \) połóżmy
Oczywiście \( \hskip 0.3pc h(a)=h(b)=0\hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc u_0+th\in \cal M\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t \in \mathbb R.\hskip 0.3pc \) Ustalmy \( \hskip 0.3pc \varepsilon >0\hskip 0.3pc \) tak, aby
\( {\cal F}(u_0)\leq {\cal F}(u_0+th)\qquad {\rm dla}\quad t\in (-\varepsilon ,\varepsilon ). \)
Połóżmy
\( \phi (t)={\cal F}(u_0+th)=\displaystyle\int_a^bf(x,u_0+th,u_0^\prime+th^\prime)dx. \)
Oczywiście \( \hskip 0.3pc \phi (0)={\cal F}(u_0),\hskip 0.3pc \) a ponieważ w punkcie \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) posiada minimum, \( \hskip 0.3pc \phi (0)\leq \phi (t)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc t\in (-\varepsilon ,\varepsilon ).\hskip 0.3pc \) Stąd i różniczkowalności funkcji \( \hskip 0.3pc \phi \hskip 0.3pc \) wynika, że \( \hskip 0.3pc \phi ^\prime(0)=0.\hskip 0.3pc \)
Ponieważ
\( \phi ^\prime(t)=\displaystyle\int_a^b\big(f_u(x,u_0+th,u_0^\prime+th^\prime)h+f_{u^\prime} (x,u_0+th, u_0^\prime +th^\prime)h^\prime\big)dx, \)
warunek \( \hskip 0.3pc \phi^\prime(0)=0\hskip 0.3pc \) jest równoważny warunkowi
\( \displaystyle\int_a^b\Big(f_u\big(x,u_0(x),u_0^\prime(x)\big)h(x)+f_{u^\prime}\big(x,u_0(x),u_0^\prime(x)\big)h^\prime(x)\Big)dx=0. \)
Połóżmy
\( {\cal M}_0=\big\{h \in C([a,b])\,:\,h(a)=h(b)=0\big\}. \)
Niech \( \hskip 0.3pc u \in {\cal M}.\hskip 0.3pc \) Odwzorowanie \( \hskip 0.3pc \delta{\cal F}(u):{\cal M}_0\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) dane wzorem
\( \delta{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^b\Big(f_u\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)h(x)+ f_{u^\prime} \big(x,u(x),u^\prime(x)\big)h^\prime(x)\Big)dx \)
nazywa się pierwszą wariacją funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \)
Jeśli w punkcie \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) istnieje ekstremum lokalne, wówczas - zgodnie z poprzednimi obserwacjami - wariacja \( \hskip 0.3pc \delta{\cal F}(u_0)(h)=0\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}.\hskip 0.3pc \)
Funkcje \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) dla których pierwsza wariacja jest równa zeru nazywają się punktami stacjonarnymi lub ekstremalami . Są to funkcje na których funkcjonał może osiągać ekstremum. Aby więc znaleźć ekstrema funkcjonału, należy najpierw wyznaczyć ekstremale.
Dla \( \hskip 0.3pc u\in {\cal M}\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0\hskip 0.3pc \) rozważmy
\( {\cal F}(u+h)- {\cal F}(u) =\displaystyle\int_a^b\big(f(x,u+h,u^\prime+h^\prime)-f(x,u,u^\prime)\big)dx. \)
Na mocy twierdzenia Taylora
\( f(x,u+h,u^\prime+h^\prime)= f(x,u,u^\prime)+f_u(x,u,u^\prime)h+f_{u^\prime}(x,u,u^\prime)h^\prime + o(h,h^\prime), \)
gdzie
\( \displaystyle\lim_{\|h\|_1\to 0}\dfrac{o(h,h^\prime)}{\|h\|_1}=0,\hskip 1.pc \|h\|_1=\|h\|+\|h^\prime\|. \)
Wykorzystując ( 6 ) i ( 4 ) wzór ( 5 ) można zapisać w postaci
\( {\cal F}(u+h)- {\cal F}(u)=\delta{\cal F}(u)(h)+\displaystyle\int_a^b o(h,h^\prime)\,dx. \)
Stąd
\( \dfrac{{\cal F}(u+h)- {\cal F}(u)-\delta{\cal F}(u)(h)}{\|h\|_1} = \dfrac{1}{\|h\|_1}\displaystyle\int_a^b o(h,h^\prime)dx. \)
Ponieważ wariacja jest funkcjonałem liniowym na \( \hskip 0.3pc {\cal M}_0,\hskip 0.3pc \) wynika stąd, że na zbiorze \( \hskip 0.3pc {\cal M}_0\hskip 0.3pc \) jest ona równa różniczce, czyli
\( \delta{\cal F}(u)(h)= d{\cal F}(u)(h) \qquad {\rm dla}\hskip 0.3pc h\in {\cal M}_0. \)
Załóżmy teraz, że \( \hskip 0.3pc f\hskip 0.3pc \) jest klasy \( \hskip 0.3pc C^2.\hskip 0.3pc \) Na mocy twierdzenia Taylora
\( \begin{aligned}f(x,u+h,u^\prime+h^\prime)\,=&\, f(x,u,u^\prime)+f_u(x,u,u^\prime)h+f_{u^\prime}(x,u, u^\prime) h^\prime +\\&\dfrac 12\Big(f_{uu}(x,u,u^\prime)h^2+2f_{uu^\prime}(x,u,u^\prime)hh^\prime +f_{u^\prime u^\prime}(x,u,u^\prime){h^\prime}^2\Big) +\tilde o(h, {h^\prime}) \end{aligned} \)
gdzie
\( \displaystyle\lim_{\|h\|_1\to 0}\dfrac{\tilde o(h,h^\prime)}{\|h\|_1^2}=0. \)
Jeśli pierwsza wariacja jest równa zeru, wówczas
(8)
\( {\cal F}(u+h)- {\cal F}(u)= \dfrac 12\displaystyle\int_a^b\big[f_{uu}h^2+2f_{uu^\prime})hh^\prime +f_{u^\prime u^\prime}{h^\prime}^2\big]dx+\displaystyle\int_a^b \tilde o(h,{h^\prime})dx. \)
Wyrażenie
\( \delta^2{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^b\Big(f_{uu}h^2+2f_{uu^\prime}hh^\prime +f_{u^\prime u^\prime} {h^\prime}^2\Big)dx \)
nazywamy drugą wariacją funkcjonału \( \hskip 0.3pc {\cal F}.\hskip 0.3pc \)
Nietrudno pokazać, że druga wariacja na zbiorze \( \hskip 0.3pc {\cal M}_0\hskip 0.3pc \) pokrywa się z różniczką drugiego rzędu.
Jeśli \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) jest ekstremalą a druga wariacja \( \hskip 0.3pc \delta^2{\cal F}(u_0)\hskip 0.3pc \) jest określona dodatnio to z zależności ( 7 ) wynika, że funkcjonał \( \hskip 0.3pc {\cal F}\hskip 0.3pc \) osiąga w punkcie \( \hskip 0.3pc u_0\hskip 0.3pc \) minimum lokalne, jeśli druga wariacja jest określona ujemnie, maksimum lokalne.
Sprawdzić, że funkcjonał
\( {\cal F}(u) =\displaystyle\int_a^bu(x)dx \)
posiada różniczkę w dowolnym punkcie \( \hskip 0.3pc u\in C([a,b]).\hskip 0.3pc \)
Istotnie
\( {\cal F}(u+h)-{\cal F}(u)=\displaystyle\int_a^b(u(x)+h(x))dx-\displaystyle\int_a^bu(x)dx=\displaystyle\int_a^bh(x)dx. \)
Zatem
\( d{\cal F}(u)(h)= \displaystyle\int_a^bh(x)dx. \)
Oczywiście \( \hskip 0.3pc d^2{\cal F}(u)= 0.\hskip 0.3pc \)
Sprawdzić, że funkcjonał
\( {\cal F}(u) =\displaystyle\int_a^b(u(x))^2dx \)
posiada różniczkę w dowolnym punkcie \( \hskip 0.3pc u\in C([a,b]).\hskip 0.3pc \)
Istotnie
\( {\cal F}(u+h)-{\cal F}(u)=\displaystyle\int_a^b[u(x)+h(x)]^2dx- \displaystyle\int_a^b(u(x))^2dx =2\displaystyle \int_ a^bu(x)h(x)dx+\displaystyle\int_a^b(h(x))^2dx. \)
Ponieważ
\( \displaystyle\int_a^b(h(x))^2dx\leq (b-a)\|h\|^2, \)
zatem
\( \displaystyle\lim_{\|h\|\to 0}\dfrac 1{\|h\|}\displaystyle\int_a^b(h(x))^2dx =0. \)
Wynika stąd, że
\( d{\cal F}(u)(h)= 2\displaystyle\int_a^bu(x)h(x)dx. \)
Podobnie można sprawdzić, że
\( \delta^2{\cal F}(u)(h)= 2\displaystyle\int_a^bh^2(x)\,dx. \)
